Урок 2. Общие сведения о системах счисления

С древних времен в практической деятельности человека часто возникала потребность счета и измерения. Результаты счета предметов выражались вначале весьма примитивно: зарубки на палочках, узелки на веревках и др. С развитием письменности человек начал отображать с помощью знаков (записывать) информацию о количестве предметов на подручных материалах: глиняных табличках, папирусе, бересте и др. Таким образом, для обозначения чисел стали использовать знаки.

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.

Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Одной из наиболее древних являлась египетская иероглифическая система счисления. В ней числа представлялись в виде отдельных знаков, например:
 
знаки.png
Так, число знаки2.png означало:

100+10+10+1+1+1=123

Существовали системы счисления, в которых для записи чисел использовались буквы алфавита, например старославянская система счисления.
знак3.png

Десятичная система счисления зародилась в Индии приблизительно в 5 в., затем она появилась в арабских рукописях. Из арабских рукописей эта система пришла в Европу в 9-12 вв. Поэтому современную десятичную систему счисления называют арабской.

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример:
У вавилонян узловыми являлись числа 1 , 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1 , 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, C, D, M.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
  • унарная система;
  • непозиционные системы;
  • позиционные системы.
Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.

В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта.
Унарную систему ещё называют системой бирок.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый знак (цифра) в записи любого числа имеет одно и то же значение и не зависит от своего расположения в числе.

В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

В непозиционной римской системе счисления для обозначения чисел используются следующие знаки:
знаки4.png
Например, число 28.png, записанное в римской системе счисления, в десятичной системе счисления означает: 10+10+5+1+1+1=28
Древнеегипетская и старославянская система также являются непозиционными.

Позиционными называют такие системы счисления, в которых значение каждого знака (цифры) в записи любого числа зависит от расположения (позиции) этого знака в числе. 

Количество цифр, используемых для записи чисел в позиционной системе счисления, называется ее основанием.

Мы используем позиционную десятичную систему счисления. Основанием этой системы является число 10.

Для записи любого числа в десятичной системе счисления используют десять цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Комбинируя эти цифры, можно записывать любые числа.

Например, цифры числа 737 в десятичной системе счисления являются коэффициентами его записи в виде суммы степенней числа 
 \( 737=7 \cdot10^2+3 \cdot10^1+7 \cdot10^0=7 \cdot100+3 \cdot10+7 \cdot1 \)
Из этого примера видно, что цифра 7 в зависимости от своей позиции в этом числе означает и 7 сотен, и 7 единиц, а цифра 3 три десятка.

Пример:
Рассмотрим десятичное число 13456,7. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развернутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
\( 1⋅10^4+3⋅10^3+4⋅10^2+5⋅10^1+6⋅10^0+7⋅10^{−1} . \)


Last modified: Sunday, 17 September 2023, 8:20 PM